El
sistema de numeración romana es un sistema de numeración no posicional
que se desarrolló en la Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio
romano. Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para
representar ciertos números, la mayor parte de números se escriben como
combinaciones de letras. El sistema de números romanos carece del 0
(cero), por lo que lo convierte en un sistema muy complicado para
realizar multiplicaciones o divisiones.Los romanos escribían números combinando las letras, siguiendo estas reglas:
Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
Regla de la suma: Una letra escrita a la derecha de otra de igual valor o mayor, le suma a esta su valor. Ejemplo: LX = 50 + 10 = 60.
Regla de la resta:
Las letras I, X y C escritas a la izquierda de cada una de las dos
letras de mayor valor que le siguen, le restan a esta su valor. Ejemplo:
XL = 50 - 10 = 40.
El símbolo I sólo puede restar a V y a X.
El símbolo X sólo puede restar a L y a C.
El símbolo C sólo puede restar a D y a M.
Regla de la repetición: Las letras I, X, C y M se pueden repetir tres veces como máximo. Las letras V, L y D no se pueden repetir. Ejemplo: XXX = 30
Regla de la multiplicación:
Una raya encima de una letra o un grupo de letras multiplica por mil su
valor. Se utiliza para escribir números mayores que 4.000. No existe
formato para números con un valor de mayor envergadura, por lo que a
veces se utiliza una doble barra o una barra de subrayado para indicar
que la multiplicación se realiza por un millón.
Permitía
representar números, desde el uno hasta millones. A principios del
tercer milenio a.C., los egipcios disponían del primer sistema
desarrollado decimal (numeración de base 10). Éste es uno de los
sistemas de numeración más antiguos. Los jeroglíficos egipcios podían
ser escritos dentro del texto de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo. Suma y resta:
Las operaciones básicas de suma y resta se limitaban a una combinación o
cancelación de símbolos. Si los "pies" señalaban en la dirección de la
escritura, significaban suma, si señalaban en dirección contraria sería
una resta.Para
sumar simplemente se añadían los símbolos correspondientes. Como los
símbolos se podían repetir desde 1 a 9 veces, si se excedía de 9 se
eliminaban todos y se añadía el siguiente símbolo. Para la resta sencillamente se eliminaban los símbolos repetidos.
Consisten
en que el valor de cada cifra no depende del lugar que ocupa. Estos son
los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para
representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se
tenía. También se sabe que se usaban cuerdas con nudos para representar
cantidades. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el
sistema de numeración romana, y los usados por mayas y aztecas. El
principal inconveniente que tienen estos sistemas radica en su
escritura, ya que para valores numéricos grandes son necesarios muchos
símbolos y resulta difícil efectuar operaciones aritméticas con ellos.
En
el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis
símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan
los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales
10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente. El valor de cada uno de estos
símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula
mediante potencias de base 16. Suma hexadecimal: Cumple los mismos requisitos que la suma octal, la única diferencia es la base del sistema que se resta. 1. Se empieza a sumar de derecha a izquierda. 2. Sumar dígitos que se encuentran en la primer columna y se coloca el resultado debajo de la columna. 3.
En caso de que la suma exceda la base del sistema, se escribe el
resultado y se le restan 16, se coloca un acarreo en la siguiente
columna, el valor del acarreo depende de las veces que haya superado la
base del sistema y el valor que se obtiene de la resta se coloca debajo
de la columna. Resta hexadecimal:
Se realiza de la misma forma que en el sistema decimal, la única
diferencia es que cuando se “piden cifras” al número que está al lado,
pasa a la columna de la derecha como 16, luego se suma ese 16 con el
numero que “pidió” la cifra y se continua con la operación.
Es
un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base las potencias del número diez. El
conjunto de símbolos utilizado se compone de diez cifras diferentes:
cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6);
siete (7); ocho (8) y nueve (9). Al ser posicional, el sistema decimal
es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende
de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de las
unidades, el siguiente las decenas, el siguiente las centenas, etc. Suma decimal:
La suma o adición es una operación básica por su naturalidad que se
representa con el signo (+), consiste en combinar dos números o más para
obtener una cantidad final o total. Propiedades de la suma:
Propiedad conmutativa: si el orden de los factores cambia no altera el resultado: 1+2= 3 y 2+1=3.
Propiedad asociativa:
Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, la suma
siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Un ejemplo
es: 4+(5+6) = (4+5)+6.
Elemento opuesto o inverso aditivo:
Para cualquier número a, existe un número −a tal que 7 + (−7) = (−7) + 7
= 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada
a.
Propiedad distributiva:
La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la
suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por
ejemplo, (6+3) * 4 = (6*4) + (3*4).
Propiedad de cerradura: Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. Por ejemplo 8+1=9.
El procedimiento para efectuar sumas de varios números, llamados "sumandos", es el siguiente: Los
sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en
columnas, empezando por la derecha con la cifra de las unidades (U), a
la izquierda las decenas (D), la siguiente las centenas (C), la
siguiente los millares (M), etc, luego se efectúa la operación.Resta decimal: Es
una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una
operación de descomposición que consiste en, dadas ciertas cantidades
(minuendo y sustraendo), eliminar una parte de ella, y el resultado se
conoce como diferencia. En matemáticas avanzadas no se habla de «restar»
sino de «sumar el opuesto». En otras palabras, no se tiene a – b sino a
+ (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma. Propiedades de la resta:
No es conmutativa: 4 - 5 ≠ 5 – 4.
No es asociativa: 5 - (3 - 2) ≠ (5 - 3) - 2.
Elemento neutro: 9 – 0 = 9.
Elemento simétrico: 9 – (9) = 0.
Se
procede colocando el minuendo encima del sustraendo, ordenando las
cifras en columnas de derecha a izquierda según el orden de unidades,
decenas, centenas etc. igual que en la suma y se efectúa la operación.
El
inconveniente de la codificación binaria es que la representación de
algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros
sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema
octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil
convertir un número binario a octal o a hexadecimal. En
el sistema de numeración octal, los números se representan mediante
ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene,
naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El
valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias
de base 8.Suma de octales:1. Se empieza a sumar de derecha a izquierda.2. Sumar el/los dígitos que se encuentran en la primer columna y se coloca el resultado debajo de la columna. 3.
En caso de que la suma exceda la base del sistema, se restan 8, y se
coloca un acarreo en la siguiente columna, el valor del acarreo depende
de las veces que haya superado la base del sistema y el valor que se
obtiene de la resta se coloca debajo de la columna.Resta de octales: Se
realiza de la misma forma que en el sistema decimal, la única
diferencia es que cuando se “piden cifras” al número que está al lado,
pasa a la columna de la derecha como 8, luego se suma ese 8 con el
numero que “pidió” la cifra y se continua con la operación.Cuando el segundo número (sustraendo) es mayor que el primero (minuendo) el resultado (diferencia) será negativo.
El
sistema de numeración binario utiliza sólo dos
dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En
una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor
dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada
posición es el de una potencia de base 2, elevada a un
exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se
puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal,
la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos
utilizados (2) para representar los números.
Suma de Binarios: Las posibles combinaciones al sumar dos bits son: 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Ejemplo:
100110101 + 11010101 1000001010
Operamos
como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en
nuestro ejemplo. 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del
resulado y llevamos 1 (ese "1" se llama arrastre o acarreo). A
continuación, se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 = 1, y
seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en
decimal).Resta de binarios: Las posibles combinaciones al restar dos bits son: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = No cabe o se pide prestado al próximo La
resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una
unidad prestada de la siguiente posición: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo
que equivale a decir en decimal 2 - 1 = 1. Esa unidad debe devolverse
sumándola a la posición siguiente. Ejemplo:
Estamos
tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos
conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99 + 1 = 100,
sin detenernos a pensar en el significado que encierra esta expresión.
Tal es la costumbre de calcular en decimal, que la mayoría de la
población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas de
numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este.
Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 (binario), de base 8
(octal) y el de base 16 (hexadecimal).
A
lo largo de la historia, el ser humano ha buscado diferentes maneras de
representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil años,
los pueblos de aquella época no utilizaban números para agrupar objetos,
sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para
contar, ya sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos,
marcando bastones (ramas) o haciendo nudos en una cuerda. Ahora bien, el
primer uso que se le dio a los números, se relaciona con la necesidad
de ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos y así
surgieron los sistemas de numeración. Un
sistema de numeración define la representación de un número usando
distintos símbolos. Pueden ser categorizados en dos grupos: sistemas
posicionales y sistemas no-posicionales.
